储户存款被盗银行应当承担责任，法律规定，商业银行应当保障存款人的合法权益不受任何单位和个人侵犯；

所以保障储户银行卡内的资金安全是银行的责任，如果储户银行卡内自己被盗银行显然是没有尽到义务，应当承担责任。

法律依据

《商业银行法》第二十九条

商业银行办理个人储蓄存款业务，应当遵循存款自愿、取款自由、存款有息、为存款人保密的原则。

对个人储蓄存款，商业银行有权拒绝任何单位或者个人查询、冻结、扣划，但法律另有规定的除外。