零点存在性定理是判断函数y=f（x）的零点是否存在的方法。其内容为：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）＜0，那么，函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的根。

下面利用闭区间套定理证明该定理：

假设函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)\\times f(b)<0。对闭区间[a,b]进行一系列的二等分，得到一系列的闭区间[a_0,a_1],[a_1,a_2],\\ldots,[a_{n-1},a_n]，其中a=a_0<a_1<a_2<\\ldots<a_n=b。

因为函数f在闭区间[a,b]上连续，所以f在闭区间[a_i,a_{i+1}]上也连续，其中i=0,1,2,\\ldots,n-1。

对于i=0，有f(a_0)\\times f(a_1)<0，根据连续函数的性质，在[a_0,a_1]上必然存在一点c_1，使得f(c_1)=0。

类似地，对于i=1,2,3,\\ldots,n-1，在[a_i,a_{i+1}]上分别存在一点c_2,c_3,c_4,\\ldots,c_n，使得f(c_i)=0。

因为c_1<c_2<c_3<\\ldots<c_n，且函数f在闭区间[a,b]上连续，所以必然存在一点c，