子女当然能够起诉继父要求其支付母亲的医疗费用。因为继父也是属于母亲的直系亲属，也是属于第一责任人。他有支付配偶的医疗及生活费用的义务。但是子女也有赡养和支付长辈的医疗费用的义务。

如果双方在这个环节达不成共识，首先可以采取私下的协商，如果调解不成也可以走法律程序，对继父进行起诉。