福建南平市竹子最多的镇是建阳市。建阳市地处南平市中部，拥有丰富的自然资源和适宜的气候条件，使得该地区的竹子种植得以迅速发展。建阳市积极推动竹子产业发展，建立了一系列科学规划和管理体系，提升了竹子种植的质量和产量。同时，建阳市还利用竹子资源进行深加工，开发出多种竹制品，进一步扩大了竹子产业的规模和影响力。因此，可以说福建南平市竹子最多的镇就是建阳市。